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『ルベーグ積分入門』 自分用学習ノート

動機

何か数学の勉強がしたくなり以前読みかけでほぼ放置してしまったこの本を再読してみる。毎回、途中で挫折してしまうが、今回は辛抱強く証明を一つ一つ丹念に理解していって、確実に読み進めたい。

 

目的

最早、目的は特にない。以前であれば、そこから確率過程論、そして数理ファイナンスというような気持があった。しかし、今や数理ファイナンス疑似科学なのではないかと、信仰が揺らぎ始め、関心が薄れてしまった。

一つ書くと、確率微分方程式偏微分方程式の関係を正確に理解したい。

 

方法

システム開発で流行りのAgile方式でやってみる。

数学の勉強にAgileを適用するとは何なのか、自分もよく分かっていないが、以下のような感じ。

  • 進捗目標を細かく分ける。
  • その都度現状の理解度を文字にして報告

 

 

2.1 可測関数

  • 「可測関数」はσ加法族だけに関係した概念で、測度とは独立。「連続関数」が位相とだけに関係したものであるのと同じ。

 

定義(可測関数)

定義(可測関数全体の集合)

 

例(可測な単関数)

可測な単関数と定義域を互いに疎な区間に分割したとき、同値となることについて。

( 証明は読みながら、大まかに理解。)

 

2.2 可測関数の演算と極限

可測性が、四則演算や極限で保存されることが述べられている。

 

命題(ユークリッド空間上の可測性?)

  1. 全ての開集合が可測である事と、ユークリッド空間への可測関数全体の集合は同値(証明、OK)
  2. 連続関数の可測性 (証明、OK)
  3. 可測関数の演算 (証明、理解曖昧)